مجموعه ها

مقدمه :

اهميت مجموعه در رياضيات بر هيچ كس پوشيده نيست. مجموعه از مفاهيم پايه اي در رياضيات جديد است. يافتن موضوعي در رياضيات كه مستقل از مجموعه ها باشد، تقريبا ً غير ممكن است. گروه ها ، ميدان ها ، حلقه ها ، فضاهاي متري و حتي رياضيات فازي، هر كدام به نحوي از مجموعه ها استفاده مي كنند. پس بجاست كه قبل از هر چيز، با مفهوم مجموعه در رياضيات آشنا شويم و اعمال روي مجموعه ها را بدانيم.

« مجموعه چيست ؟ » يا « به چه چيزي مجموعه گفته مي شود ؟ »

اين ها اولين سوالاتي هستند كه درباره ي مجموعه ها مطرح مي شوند. ساده ترين پاسخي كه به اين گونه سوالات داده مي شود، اين است : « مجموعه گردايه اي از اشياء است. » مثلا ً مجموعه ي كتاب هاي يك قفسه يا مجموعه ي پرتقال هاي موجود در يك جعبه ميوه و ...

اما اگر كمي كنجكاو باشيم، مي توانيم اين سوال را مطرح كنيم كه:« گردايه چيست؟ » . « گردايه، انبوهي از چيزهاست. » و ...

اگر همچنان به كنجكاوي خود ادامه دهيم، در پاسخ به اين قبيل سوالات، تعدادي از كلمات ِ هم معني با مجموعه رديف خواهد شد و پس از چند كلمه، به جايي مي رسيم كه مجبور خواهيم شد دوباره از كلمه ي مجموعه استفاده كنيم. به اين ترتيب به تعريفي دوري براي مجموعه خواهيم رسيد كه از لحاظ منطقي بي ارزش خواهد بود. چاره چيست ؟

در چنين مواردي ، نياز به مفاهيم اوليه اي است كه آن ها را بدون تعريف مي پذيريم، با اين فرض كه برداشت هاي افراد از اين مفاهيم ، به قدر كافي به يكديگر شبيه است و هيچ ابهامي در فهم آن ها وجود ندارد. گاهي نيز براي رفع ابهام و مشخص تر كردن منظور، تعريفي صوري براي اين مفاهيم مي آورند.

ما مجموعه را جزء مفاهيم اوليه مي دانيم و تعريفي براي آن ارائه نمي دهيم. اما رياضي دان نامي، كانتور، تعريف زير را براي مجموعه ارائه كرده است :

كانتور مي گويد : « مجموعه گردايه اي از اشياء متمايز در شعور ماست كه به اين اشياي ِ مجزا، اعضاي مجموعه مي گوييم. »

با دقت در تعريف كانتور علاوه برموردي كه در بالا به آن اشاره شد ( رسيدن به تعريف دوري ) ، گردايه اي از اشياء مجزا در شعور ما اين مفهوم را القا مي كند كه مجموعه حتما ً بايد عضوي داشته باشد و مجموعه با وجود اعضايش عينيت پيدا مي كند. به اين ترتيب چگونه مي توان مجموعه اي به نام « تهي » تعريف كرد در حالي كه هيچ عضوي نداشته باشد؟

ما معتقديم كه مجموعه، وجودي مستقل و مجرد از اعضاي آن است، يعني مجموعه مفهومي است كه مي تواند عضوي داشته باشد يا نداشته باشد، همان گونه كه يك جعبه مي تواند به خودي خود وجود داشته باشد، حال آنكه وجود يا عدم وجود چيزي در آن ،تاثيري بر وجود جعبه ندارد.