نام آزمون : معادلات دیفرانسیل

نام استاد : دکتر افشار نژاد

تاريخ برگزاري : 7/11/1385

دانشگاه : فردوسی مشهد

دانشكده : علوم ریاضی

1. جواب عمومی دستگاه زیر را به دست آورید.

2. چهار جمله از جواب معادله دیفرانسیل زیر را بر حسب سری توانی حول نقطه ی x = 0 به دست آورید.

( راهمنمایی : cos x را برحسب سری مکلورن بنویسید. )

3. الف : تبدیل لاپلاس را تعریف کنید.

ب : ثابت کنید که جایی که .

ج : انتگرال زیر را محاسبه کنید.

د : عکس تبدیل زیر را محاسبه کنید :

4. معادله دیفرانسیل مفروض است که در آن a یک مقدار ثابت است.

الف : نقاط تکین منظم آن را به دست آورید.

ب : جواب های این معادله دیفرانسیل به صورت سری حول نقطه ی x = 1 محاسبه کنید.

ج : اگر a یک عدد مثبت غیر صفر باشد ، آنگاه نشان دهید که یک جواب معادله به صورت سری است.

د : شعاع تقارب سری را به دست آورید.

5. تابع گاما را تعریف کنید و انتگرال زیر را محاسبه کنید :

6. معادله انتگرالی زیر را حل کنید :

7. الف : ثابت کنید جایی که تابع بسل از مرتبه ی p است.

ب : با استفاده از قسمت الف ، را محاسبه کنید.